Pages

Subscribe:

Translate It !

English French German Spain Italian Dutch

Russian Portuguese Japanese Korean Arabic Chinese Simplified

Labels

Followers

visitors

free counters

Selasa, 29 Maret 2011

Matematika : Integral

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah \int\,
Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Mencari nilai integral

[sunting] Substitusi

Contoh soal:
Cari nilai dari:\int \frac{ln x}{x}\,dx\,
t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}
\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt
= \frac {1}{2} t^2 + C
= \frac {1}{2} ln^2x + C

[sunting] Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
Contoh soal:
Cari nilai dari: \int \ln x \,dx\,
f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,
Gunakan rumus di atas
\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,
= x ln x - \int 1\,dx\,
= x ln x - x + C\,

[sunting] Substitusi trigonometri

Bentuk Gunakan
\sqrt{a^2-b^2x^2}\, x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,
\sqrt{a^2+b^2x^2}\, \!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,
\sqrt{b^2x^2-a^2}\, \, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,
Contoh soal:
Cari nilai dari: \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,
x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,
\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,
= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,
= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,
= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,
Cari nilai dari: \int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\, dengan menggunakan substitusi
t = sin A, dt = cos A\,dA\,
\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,
= \int \frac{dt}{t^2}\,
= \int t^{-2}\,dt\,
= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,
Masukkan nilai tersebut:
= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,
= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,
= -\frac {1}{4 sin A} + C\,
Nilai sin A adalah \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}
= -\frac {1}{4 sin A} + C\,
= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,

[sunting] Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:
Cari nilai dari: \int\frac{dx}{x^2-4}\,
\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,
= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,
= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,
=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,
Akan diperoleh dua persamaan yaitu A+B = 0\, dan A-B = -\frac{1}{2}
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,
\int\frac{dx}{x^2-4}\,
= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,
= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,
= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,

[sunting] Rumus integrasi dasar

[sunting] Umum

[sunting] Bilangan natural

\int e^u du= e^u + C\,

[sunting] Logaritma

\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

[sunting] Trigonometri

\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,
\int\cos x\,dx = \sin x + C\,
\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,
\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,
\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,
\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,
\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,
\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,
\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,

Integral dari fungsi-fungsi sederhana

[sunting] Fungsi rasional

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi rasional
\int \,{\rm d}x = x + C
\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1
\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C
\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C

[sunting] Fungsi irrasional

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi irrasional
\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C
\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C
\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C

[sunting] Logaritma

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi logaritmik
\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

[sunting] Fungsi eksponensial

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi eksponensial
\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

[sunting] Fungsi trigonometri

Artikel utama: Daftar integral dari fungsi trigonometri dan Daftar integral dari fungsi arc
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C
\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C
\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C

[sunting] Fungsi hiperbolik

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi hiperbolik
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C

[sunting] Fungsi inversi hiperbolik

\int \operatorname{arsinh} x \, dx = x \operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C
\int \operatorname{arcosh} x \, dx = x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1} + C
\int \operatorname{artanh} x \, dx = x \operatorname{artanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
\int \operatorname{arcsch}\,x \, dx = x \operatorname{arcsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
\int \operatorname{arsech}\,x \, dx = x \operatorname{arsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
\int \operatorname{arcoth} \, dx = x \operatorname{arcoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C
\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,
 sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Integral
Diposting oleh Nurul Fiskia Gamayanti di 05.38 0 komentar
Label:
Langganan: Komentar (Atom)

Selasa, 29 Maret 2011

Matematika : Integral

Diposting oleh Nurul Fiskia Gamayanti di 05.38 0 komentar
Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah \int\,
Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Mencari nilai integral

[sunting] Substitusi

Contoh soal:
Cari nilai dari:\int \frac{ln x}{x}\,dx\,
t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}
\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt
= \frac {1}{2} t^2 + C
= \frac {1}{2} ln^2x + C

[sunting] Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
Contoh soal:
Cari nilai dari: \int \ln x \,dx\,
f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,
Gunakan rumus di atas
\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,
= x ln x - \int 1\,dx\,
= x ln x - x + C\,

[sunting] Substitusi trigonometri

Bentuk Gunakan
\sqrt{a^2-b^2x^2}\, x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,
\sqrt{a^2+b^2x^2}\, \!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,
\sqrt{b^2x^2-a^2}\, \, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,
Contoh soal:
Cari nilai dari: \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,
x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,
\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,
= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,
= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,
= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,
= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,
Cari nilai dari: \int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\, dengan menggunakan substitusi
t = sin A, dt = cos A\,dA\,
\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,
= \int \frac{dt}{t^2}\,
= \int t^{-2}\,dt\,
= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,
Masukkan nilai tersebut:
= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,
= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,
= -\frac {1}{4 sin A} + C\,
Nilai sin A adalah \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}
= -\frac {1}{4 sin A} + C\,
= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,

[sunting] Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:
Cari nilai dari: \int\frac{dx}{x^2-4}\,
\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,
= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,
= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,
=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,
Akan diperoleh dua persamaan yaitu A+B = 0\, dan A-B = -\frac{1}{2}
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,
\int\frac{dx}{x^2-4}\,
= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,
= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,
= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,

[sunting] Rumus integrasi dasar

[sunting] Umum

[sunting] Bilangan natural

\int e^u du= e^u + C\,

[sunting] Logaritma

\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

[sunting] Trigonometri

\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,
\int\cos x\,dx = \sin x + C\,
\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,
\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,
\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,
\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,
\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,
\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,
\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,

Integral dari fungsi-fungsi sederhana

[sunting] Fungsi rasional

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi rasional
\int \,{\rm d}x = x + C
\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1
\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C
\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C

[sunting] Fungsi irrasional

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi irrasional
\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C
\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C
\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C

[sunting] Logaritma

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi logaritmik
\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

[sunting] Fungsi eksponensial

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi eksponensial
\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

[sunting] Fungsi trigonometri

Artikel utama: Daftar integral dari fungsi trigonometri dan Daftar integral dari fungsi arc
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C
\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C
\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C

[sunting] Fungsi hiperbolik

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi hiperbolik
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C

[sunting] Fungsi inversi hiperbolik

\int \operatorname{arsinh} x \, dx = x \operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C
\int \operatorname{arcosh} x \, dx = x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1} + C
\int \operatorname{artanh} x \, dx = x \operatorname{artanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
\int \operatorname{arcsch}\,x \, dx = x \operatorname{arcsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
\int \operatorname{arsech}\,x \, dx = x \operatorname{arsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
\int \operatorname{arcoth} \, dx = x \operatorname{arcoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C
\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,
 sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Integral
READ MORE - Matematika : Integral
Langganan: Komentar (Atom)